已知函数f(x)=(3^x-1)/(3^x+1)

f(x)=(3^x+1-2)/(3^x+1)=(3^x+1)/(3^x+1)-2/(3^x+1)=1-2/(3^x+1)

因为3^x>0,所以分母不会等于0
所以定义域是R
令a<b
则f(a)-f(b)
=[1-2/(3^a+1)]-[1-2/(3^b+1)]
=2/(3^b+1)-2/(3^a+1)
=2[(3^a+1)-(3^b+1)]/(3^a+1)(3^b+1)
显然3^a+1>0,3^b>0,所以分母大于0
(3^a+1)-(3^b+1)=3^a-3^b
因为a<b,所以3^a<3^b
所以分子小于0
所以2[(3^a+1)-(3^b+1)]/(3^a+1)(3^b+1)<0
即a<b时
f(a)<f(b)
所以f(x)在R上是增函数

3^x>0,3^x+1>1
所以0<1/(3^x+1)<1
-2<-2/(3^x+1)<0
1-2<1-2/(3^x+1)<1+0
所以值域(-1,1)

时刻记得，指数函数是>0的，因此分母绝对>0，所以只考虑分子的情况。
Sorry 请看楼上对于单调性的证明，刚才我用导数证明的可能你看不懂。

于是我们考察limf(x)当x→正无穷 的情况
你在草稿纸上写出极限式子，然后分子分母同时除以3^x，得出x→正无穷时，极限为1
同理得出x→负无穷时极限为-1
所以求得值域(-1,1)